Changement de variables
Objectifs
La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul
d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs
si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer
la vie inutilement si on l'applique de travers.
Guide
Le théorème
Théorème :
Soit
une fonction réelle de classe
définie sur l'intervalle
.
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
Cas où le changement de variables est évident
On doit calculer
;
on voit que
apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus
complexe
et de sa dérivée
:
,
on fait alors le
changement de variable
:
On applique à la fonction
le
théorème.
Soit
une fonction réelle de classe
définie sur l'intervalle
.
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
Concrètement, on vérifie que la fonction
est
sur
et on remplace
| par |
|
| par |
|
les bornes
et
| par |
et
.
|
On obtient ainsi une nouvelle intégrale
égale à l'intégrale
.
Remarque :
Quand
vaut
, la nouvelle variable
vaut
...
Exemple
Exemple
Pour voir le théorème en même temps.
Soit
une fonction réelle de classe
définie sur l'intervalle
.
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
Calculons
.
La fonction à intégrer est de la forme
où
est la dérivée de
et où
est la fonction définie par
.
On fait donc le changement de variable
:
- On prend
et
.
-
On vérifie que
est une fonction
sur l'intervalle [3,5].
-
On vérifie que
est une fonction continue sur l'intervalle
.
- Puis on remplace
|
par |
|
|
par |
|
les bornes 3 et 5 |
par |
et
|
On obtient donc :
.
Cas où le changement de variables n'est pas évident
On peut aussi utiliser la formule du
théorème
Soit
une fonction réelle de classe
définie sur l'intervalle
.
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
de la droite vers la gauche. Pour calculer
où
est une fonction continue sur
, on a envie de poser
.
Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de
. Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle
tel que
- la fonction
est définie, de classe
sur
et vérifie
et
- la fonction
est continue sur
(attention,
peut être plus grand que
).
On peut alors appliquer le
théorème
Soit
une fonction réelle de classe
définie sur l'intervalle
.
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
pour faire le changement de variable
:
.
Concrètement, une fois choisie la fonction
:
- on choisit
et
vérifiant
et
et on détermine l'intervalle
;
-
on vérifie que
est
sur l'intervalle
;
-
on vérifie que
est une fonction continue sur
;
c'est immédiat dans le cas
;
- on remplace
| par |
|
| par |
|
les bornes
et
| par |
et
|
On obtient ainsi une nouvelle intégrale
égale à l'intégrale
.
Remarque :
-
En général, on choisit
et
de manière à ce que la fonction
soit bijective de
sur
, et en particulier
tel que
soit égal à
:
par exemple dans le cas où le changement de variables est
) avec les bornes
et
, personne n'aurait l'idée saugrenue de prendre
et
si la fonction
est définie sur
. Mais c'est permis !
-
En aucun cas, il n'est nécessaire que la réciproque de
soit
.
Exemple typique
Pour voir le théorème.
Soit
une fonction réelle de classe
définie sur l'intervalle
.
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
. On a l'égalité :
On veut calculer l'intégrale
.
On a envie de poser
et de prendre comme fonction
la fonction définie par
sur un intervalle à déterminer.
- La fonction
est
sur
. On choisit deux nombres
et
tel que
et
,
et
par exemple.,
On peut aussi prendre
et
;
mais bien sûr, jamais personne ne fera cela !
L'image de
est de toute façon contenue dans [-1,1] (et même égale).
-
La fonction
définie sur [-1,1] par
est continue sur [-1,1] ;
-
On obtient par le théorème :
On dit ici que l'on fait le changement de variables
pour
compris entre
et
.
Il ne reste plus qu'à finir les
calculs.
Sur l'intervalle [0,], la fonction sin est positive, on a donc :
Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues
et
,
la fonction
n'aurait pas été positive entre
et
et le calcul aurait été moins simple !
Exercices corrigés
Exercice : Vous voulez calculer
l'intégrale
.
Le théorème justifie-t-il le changement de variables
pour
compris entre
et
? Que vaut l'intégrale transformée ?
Solution
Oui, le théorème s'applique :
- la fonction définie sur l'intervalle
[
]
par
est
.
-
Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a
,
-
La fonction
définie sur [-1,1] par
est continue sur [-1,1].
L'intégrale
est égale à
Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des
calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où
est de signe constant pour calculer
.
Exercice :
Soit
.
Le théorème justifie-t-il le changement de variables
?
Que choisirez-vous pour les bornes
et
de la nouvelle intégrale ?
Solution
Non, je ne peux pas trouver de nombres
et
vérifiant les deux conditions suivantes
-
-
la fonction
est définie et
sur l'intervalle
(ou
).
Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le
changement de variable dit évident
ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x))
par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur
une expression de la forme
.
Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction
la fonction donnée par
?
Changement de variables dans une primitive
Pour le calcul de la primitive
sur l'intervalle
(avec
), on applique le changement de variable
si on peut
-
choisir un
vérifiant
et un
tel que
-
vérifier que
est
sur
(ou
)
-
vérifier que
est une fonction continue sur
.
Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable
bijectif sur
afin de pouvoir considérer la fonction réciproque
de
sur
.
Concrètement,
- pour tout x de
, on pose y=(x)
-
on vérifie que
est
sur
-
on vérifie que
est continue sur
.
La primitive
est alors définie sur
et on a en tout point
de
Exemple :
Le changement de variable
appliqué à
compris entre
et Arccos(x) donne (par définition de Arccos,
est toujours positif ou nul pour
compris entre
et Arccos(x)) :
Exercices interactifs
Exercice :
Dérivation d'une intégrale fonction des bornes
Exercice :
Intégration interactive : changement de variables